本书汇集了实分析中的大量反例，主要内容有集合、函数、微分、Riemann积分、无穷级数、一致收敛、Lebesgue测度和Lebesgue 积分、有界变差函数和绝对连续函数。对平面点集、二元函数和二重积分方面的反例也做了介绍。
本书可供高等学校数学类各专业的本科生、研究生以及教师参考。
- 前辅文
- 第一章 集合
- 0.引言
- 1.集A与B, 使A°∪B° ≠(A∪B)°
- 2.集A与B, 使A∩B≠A∩overlineB
- 3.集序列An,使cap ∞ _n=1A°_n≠(cap ∞_n=1A_n)°
- 4.集序列An, 使overline∪ ∞_n=1A_n≠∪ ∞_n=1A_n
- 5.集A与B, 使(AcapB)'≠A'capB'
- 6.集序列A_n, 使(∪ ∞_n=1A_n)'≠∪ ∞_n=1A'_n
- 7.使(overlineF° )≠F 的闭集F
- 8.使(overlineG)° ≠G 的开集G
- 9.集A,B与映射f, 使得f(AcapB)≠f(A)capf(B)
- 10.集A,B与映射f, 使BsubsetA 而f(AsetminusB)≠f(A)setminus f(B)
- 11.f(A)subsetf(B)不蕴涵AsubsetB 的映射f
- 12.不闭的F_σ 型集
- 13.不开的G_delta 型集
- 14.一个不可数的实数集, 它的每个闭子集都是可数的
- 15.直线上的仅由边界点所组成的不可数集
- 16.直线上的一个离散子集, 它的闭包是一个不可数集
- 17.一个正实数无穷集E, 对于它, 不存在α>0,使Ecap (α,+∞ )是无穷集
- 18.一个集, 它的直到n-1阶导集非空, 而n阶导集是空集
- 19.集E, 它的各阶导集E',E'',cdots ,E(n),cdots 两两相异, 且cap ∞_n=1E(n)=Ø
- 20.集A,它的各阶导集A',A'',cdots ,A(n),cdots 两两相异, 且cap ∞_n=1A(n)≠Ø
- 21.集S和开集G_k,k=1,2,cdots ,使G_k在S中稠密,而cap ∞_k=1G_k在S中不稠密
- 22.直线上的两个不相交的处处稠密的不可数集
- 23.直线上的一列两两不相交的处处稠密的可数集
- 24.直线上的一列两两不相交的处处稠密的不可数集
- 25.直线上的一个处处稠密的渐缩集序列E_n,满足cap ∞_n=1E_n=Ø
- 26.一个渐缩的非空有界开集序列, 其交是空集
- 27.一个渐缩的无界闭集序列, 其交是空集
- 28.一个紧集, 它的导集是可数集
- 29.两个完备集, 其交不是完备集
- 30.可数个完备集, 其并不是完备集
- 31.完备的疏集
- 32.无理数的完备疏集
- 33.一个疏集序列, 其并是稠密集
- 34.两个不相交的疏集, 其中任一集的每个点都是另一集的聚点
- 35.一个第二纲的集, 它的余集不是第一纲的集
- 36.一个有界闭集被诸闭区间覆盖而不能从中取出有限子覆盖
- 37.[0,1]中的两个不相交的稠密集A与B, 满足[0,1]=A∪B,且对任何α,β (0≤α<β ≤ 1),交集(α,β )capA与(α,β )capB 都具有连续统的势
- 38.任给势小于aleph 的实数子集Q,有实数a, 使对每一xin Q, x+a皆为无理数
- 第二章 函数
- 0.引言
- 1.一个发散序列a_n, 使|a_n| 收敛
- 2.两个非负的发散序列, 其积却收敛于零
- 3.两个非负的发散序列, 其和却是一个收敛序列
- 4.算术平均值收敛的发散序列
- 5.不是有界变差的收敛序列
- 6.对每个正整数p, 都有lim_nrightarrow ∞ (a_n+p-a_n)=0的发散序列a_n
- 7.对任意严格递增的正整数序列phi _n=phi (n),能使lim_nrightarrow ∞ (a_phi (n)-a_n)=0的发散序列a_n
- 8.函数f, 对于它, 存在函数g使g°f=I, 而不存在函数h, 使f°h=I
- 9.函数f, 对于它, 存在无穷多个g适合f° g=g° f
- 10.在某点对称连续而不连续的函数
- 11.函数f, 使f在x_0的任何邻域内都是无界的, 但当xrightarrow x_0时f(x)并不趋于无穷大
- 12.没有最小正周期的非常值周期函数
- 13.一个处处不连续的非常值周期函数, 它具有最小正周期
- 14.存在一个没有最小正周期的周期函数, 它的值域是可数集
- 15.存在一个没有最小正周期的周期函数, 它的值域是不可数集
- 16.存在两个具有不同周期的周期函数, 其和仍是一个周期函数
- 17.存在两个具有最小正周期的函数, 它们之间无可公度的周期, 但其和 (积) 仍为周期函数
- 18.存在一个非周期函数f, 使|f|是周期函数
- 19.处处有限而又处处局部无界的函数
- 20.一个无处连续函数, 其绝对值却处处连续
- 21.有唯一个连续点的函数
- 22.关于乘积函数连续性的例子
- 23.关于复合函数连续性的例子
- 24.两个正则函数, 构成非正则的复合函数
- 25.[0,1] 的一个闭子集X_0 及X_0 到X_0 上的两个可换连续映射f,g,不存在f,g 的可换连续扩张
- 26.函数y=f(u),u=g(x) 适合lim_urightarrow Af(u)=B,lim_xrightarrow Ag(x)=A,但lim_xrightarrow Af[g(x)] 不存在
- 27.函数y=f(u) 和u=g(x), 其复合函数f[g(x)] 处处连续, 并适合lim_urightarrow b f(u)=c, lim_xrightarrow Ag(x)=b, lim_xrightarrow Af[g(x)]≠c
- 28.函数f_n(x)(n=1,2,cdots )在x_0均连续, 而f(x)=sup_nf_n(x) 在x_0间断
- 29.一个无处连续函数, 其反函数却处处连续
- 30.有限区间上的一个一对一的连续函数, 其反函数不连续
- 31.不能作为任何连续函数序列的极限的函数
- 32.[0,1]上的一个函数f, 它的连续点所成之集在[0,1]中稠密, 但f不是某个连续函数序列的极限
- 33.[0,1]上的一个具有不可数间断点的函数, 它却是某个连续函数序列的极限
- 34.函数序列f(n)_k, 对于任意固定的n, 当k rightarrow ∞ 时f(n)_k(x) 处 处收敛于f(n)(x),而当nrightarrow ∞ 时f(n)(x) 处处收敛于 f(x), 但f(n)_k(x) 的任何子列并不处处收敛于f(x)
- 35.仅在有理点间断的严格递增的函数
- 36.在 Cantor 集上连续而在它的邻接区间上无处连续的函数
- 37.在 Cantor 集上无处连续而在它的邻接区间上连续的函数
- 38.在任意给定的F_σ 型集上间断的函数
- 39.[0,1]上的一个函数f, 它的连续点所成之集A与间断点所成之集B 在[0,1]内都稠密, 且对任何开区间(α,β )subset [0,1],交集A cap (α,β )与B cap (α,β )都具有连续统的势
- 40.不能在全轴上作连续扩张的有界集上的有界连续函数
- 41.以一个任意的非紧集为定义域的连续的无界函数
- 42.(0,+∞ )上的一个实值函数f, 它在无穷多个点上连续, 且对每一xin (0,+∞ ),f(x)=0当且仅当f(2x)≠
- 43.[0,+∞ )上的一个连续且有界的函数, 它在[0,+∞ )上不一致连续
- 44.两个一致连续的函数, 其积不一致连续
- 45.一个一致连续的函数, 其反函数不一致连续
- 46.两个间断函数, 其最小值函数却是一致连续的
- 47.在开区间I_1与I_2上均一致连续, 但在I_1∪ I_2上不一致连续的函数
- 48.两个单调函数f,g,其中f连续而g间断, 但复合函数f° g 却是连续的单调函数
- 49.两个区间之间一个无处单调的一一对应
- 50.两个严格递增的函数, 其积不是单调函数
- 51.无处单调的连续函数
- 52.以一个任意的非紧集为定义域的连续的有界函数, 它没有极值
- 53.定义域为紧集的没有局部极值的有界函数
- 54.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数
- 55.处处取得局部极小值的非常值函数
- 56.在每个区间上有一个真正局部极大的函数
- 57.具有介值性质的间断函数
- 58.两个具有介值性质的函数, 其和却没有介值性质
- 59.定义在[0,1)内而取值于[0,1]中的一个无处连续函数, 它在每个任意小的非空子区间上都取尽[0,1]中的一切值
- 60.一个无处连续的开函数, 它在任何区间上都不具有介值性质
- 61.一个无处连续函数f, 而具有性质f(x+y)=f(x)+f(y)
- 62.若干个半连续函数, 它们的和是一个无处半连续的函数
- 63.两个半连续函数, 其最小值函数并不半连续
- 64.无处半连续的函数
- 65.无处连续而又处处半连续的函数
- 66.一个收敛的上半连续函数序列, 其极限函数并不上半连续
- 67.一个不连续映射, 使开集的像是开集
- 68.一个连续映射, 使某个无界闭集的像不是闭集
- 69.一个疏集A, 以及从A到单位闭区间[0,1]上的一个连续映射
- 第三章 微分
- 0.引言
- 1.仅在一点连续并可微的函数
- 2.存在一个可微函数f, 而其绝对值函数|f|并不可微
- 3.一个无处可微函数f,使lim_nrightarrow ∞ n[f(x+frac1n)-f(x)]存在
- 4.关于乘积函数可微性的例子
- 5.关于复合函数可微性的例子
- 6.处处有导数 (不必有限) 的不连续函数
- 7.两个在点x_0均可微, 而使maxf,g与minf,g 在x_0都不可微的函数f和g
- 8.[a,b]上的函数f, 它满足 Rolle 定理的三个条件中任两个条件, 但不存在xi in (a,b),使f'(xi )=0
- 9.函数f, 它在[a,b]上有连续的导函数f',但对[a,b ]内某点xi , 不存在x_1,x_2, 使得fracf(x_2)-f(x_1)x_2-x_1=f'(xi ), x_1<xi <x_
- 10.中值定理失效的可微复值函数
- 11.L'Hosπtal 法则失效的复值函数的不等式
- 12.一个在某点有极值的无穷可微函数, 它的各阶导数在该点的值全都是零
- 13.一个连续函数, 它在原点的每个邻域内有无穷多个局部极值
- 14.函数f, 使lim_hrightarrow 0[f(x+h)+f(x-h)-2f(x)]/h2存在而f''(x)不存在
- 15.[0,1]上的一个可微函数, 其导数在无理点连续而在有理点间断
- 16.[0,1]上的一个可微函数, 其导数在已给的非空完备疏集上无处连续
- 17.一个具有连续导数的严格递增函数, 其导数在已给的完备疏集上恒为零
- 18.一个严格递增的连续函数, 它不处处可微
- 19.一个单调函数, 其导函数并不单调
- 20.R1上的一个严格单调的有界可微函数f, 使lim_xrightarrow pm ∞ f'(x)≠
- 21.一个在某点有极值的可微函数, 它在该点的左右两侧都不是单调的
- 22.一个可微函数f,使f'(x_0)>0,但f在包含点x_0的任何开区间内都不是单调的
- 23.函数f, 使f(x)与overlinef(x)=lim_hrightarrow 0[f(x+h)-f(x-h)]/(2h)在x=x_0都连续而f'(x_0)并不存在
- 24.一个可微函数f,当x为有理数时,f(x)为有理数, 而f'(x)为无理数
- 25.(0,1)上的一个可微函数f, 使lim_xrightarrow 0+f(x)=∞ ,但lim_xrightarrow 0+f'(x)=∞ 并不成立
- 26.(0,1)上的一个可微函数f, 使f在(0,1)上有界而f'在(0,1)上无界
- 27.在已知点a_1,a_2,cdots ,a_n 没有导数的连续函数
- 28.在无理点可微而在有理点不可微的连续函数
- 29.处处连续而无处可微的函数
- 30.处处连续而仅在一点可微的函数
- 31.任给G_delta 型的可数集E, 可构造非减函数f, 其导数满足条件:f'(x)=∞ (xin E),f'(x)=0(xoverlinein E)
- 32.无处存在单侧导数 (有限或无穷) 的连续函数
- 33.[0,1]上的一个无穷可微函数f, 使x:f(x)=0 为不可数的疏集
- 34.函数f, 使fin Hα[a,b],而foverlinein Hβ [a,b],0<α<β
- 35.函数f,使fin H1(-∞ ,+∞ ),而对任何α(0<α<1),foverlinein Hα(-∞ ,+∞ )
- 36.满足α阶 H"older 条件的无处可微的连续函数
- 37.不满足任何阶 H"older 条件的可微函数
- 38.处处可微而无处单调的函数
- 39.在每个非空区间上都能取得局部极大值和局部极小值的可微函数
- 40.满足 Lipschitz 条件而无处单调的函数
- 第四章 Riemann 积分
- 0.引言
- 1.函数f, 使|f| (R)可积而f不(R)可积
- 2.没有原函数的(R)可积函数
- 3.在任何区间上都没有原函数的(R)可积函数
- 4.在闭区间上有原函数但不(R)可积的函数
- 5.以任意零测度的F_σ 集作为间断点集的(R)可积函数
- 6.与(R)可积函数对等但本身并不(R)可积的函数
- 7.一个(R)可积函数, 在某个可数集上任意改变它的值 (但这些数值全体要组成有界集合), 而不影响它的可积性
- 8.复合函数是否(R)可积的各种实例
- 9.两个函数f与g,使f2与g2皆(R)可积而(f+g)2并不(R)可积
- 10.一个有界函数序列的极限, 它在任何非空区间上都不(R)可积
- 11.一个(R)可积函数序列, 其上确界函数并不(R)可积
- 12.积分的极限不等于极限的积分的函数序列
- 13.一个(R)可积函数f, 使g(x)=intop nolimits x_0f(t)dt处处可微, 但在一个稠密集上,g'(x)≠f(x)
- 14.一个(R)可积函数f,使g(x)=intop nolimits x_0f(t)dt不处处可微
- 15.函数f和g, 使得f在[a,b]上(R)可积,g在[a ,b]上不变号且(R)可积, 而在(a,b)中不存在满足等式 intop nolimits B_Af(x)g(x)dx=f(xi )intop nolimits B_Ag(x)dx 的xi
- 16.函数f和g, 使intop nolimits c_Af(x)dg(x)和intop nolimits B_cf(x)dg(x)均存在, 而intop nolimits B_Af(x)dg(x)不存在(a<c<b)
- 17.函数f和g, 使intop nolimits B_Af(x)dg(x)存在, 但改变f在某个点的值,intop nolimits B_Af(x)dg(x)就不存在
- 18.(0,1)上的一个无界函数, 其广义(R)积分intop nolimits 1_0f(x)dx不是对应的积分和式sumn-1_i=0f(xi _i)Delta x_i 的极限
- 19.(0,1)内的一个单调函数f,使lim_nrightarrow ∞ sumn-1_k=1frac1nfleft (fracknright )存在而f并不广义(R)可积
- 20.收敛而不绝对收敛的广义积分
- 21.函数f和g,使f广义(R)可积而g有界, 但fg 并不广义(R)可积
- 22.[0,+∞ )上的一个函数, 它在[0,+∞ )的任何有限子区间上取正值、有界、可积, 并且积分intop nolimits +∞ _0(f(x))αdx 当α=1时收敛, 而当α为不等于1的实数时发散
- 23.函数f,使|f|广义(R)可积而f2并不广义(R)可积
- 24.[1,+∞ )上的一个函数f,使f2广义(R)可积而|f|并不广义(R)可积
- 25.在[1,+∞ )上广义(R)可积的正值连续函数f, 使lim_xrightarrow +∞ f(x)≠
- 26.广义积分intop nolimits +∞ _0f(x)dx收敛而在每个区间[a,+∞ )(a>0)上f(x)是无界、非负连续函数
- 27.一个有理函数R, 使对任何在(-∞ ,+∞ )上广义(R)可积函数f, 都有intop nolimits +∞ _-∞ f[R(x)]dx=intop nolimits +∞ _-∞ f(x)dx
- 28.Cauchy 主值为有限的发散广义积分
- 第五章 无穷级数
- 0.引言
- 1.一个收敛级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1a2_n发散
- 2.一个发散的正项级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1a2_n收敛
- 3.一个发散级数sum∞_n=1a_n,使对每一kgeqslant 2,级数sum∞_n=2a_kn 都收敛
- 4.一个收敛的正项级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1sqrta_n/sqrtn 发散
- 5.一个发散级数sum∞_n=1a_n,使sum∞_n=1(a_2n-1+a_2n)收敛
- 6.级数sum∞_n=1a_n收敛且lim_nrightarrow ∞ b_n/a_n=1,而级数sum∞_n=1b_n却发散
- 7.任给一个发散的正项级数sum∞_n=1a_n,可以找到一个收敛于零的正数序列c_n,使sum∞_n=1c_na_n仍然发散
- 8.任给一个收敛的正项级数sum∞_n=1a_n,可以找到一个收敛于零的正数序列c_n,使sum∞_n=1a_n/c_n仍然收敛
- 9.给定使mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ b_n=0的正数序列B_n,有一个正项发散级数sum∞_n=1a_n,适合lim_n-x_0a_n=0且mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ a_n/b_n=
- 10.给定使mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ b_n=0的正数序列B_n,有一个正项收敛级数sum∞_n=1a_n,适合mathopmathchoice@@overlinehboxdisplaystyle ∞ a_n/b_n=+∞
- 11.给定一个满足mathopmathchoice@@undehboxscriptscriptstyle ∞ c_n=0的正数序列c_n,有一个正项收敛级数sum∞_n=1a_n和一个正项发散级数sum∞_n=1b_n,能使a_n/b_n=c_n
- 12.任给正数s,可以找到一个正项级数sum∞_n=1a_n,使对任何正数σ (0<σ ≤ s),都可以用一个无穷子级数来表示:sum∞_k=1a_n_k=σ
- 13.一个正项级数, 使任何正有理数都是它的有限个不同项之和
- 14.通项趋于零而发散的交错级数
- 15.一个发散级数sum∞_n=1a_n,其部分和序列有界且lim_nrightarrow ∞ a_n=
- 16.根检法失效的级数
- 17.比检法失效的级数
- 18.lim_nrightarrow ∞ sqrt [n]a_n 存在而lim_nrightarrow ∞ a_n+1/a_n不存在的正项级数sum∞_n=1a_n
- 19.两个收敛级数, 其 Cauchy 乘积级数发散
- 20.两个条件收敛级数, 其 Cauchy 乘积级数绝对收敛
- 21.两个发散级数, 其 Cauchy 乘积级数绝对收敛
- 22.一个发散级数sum∞_n=1a_n,使当p=1,2,3,cdots 时,lim_nrightarrow ∞ (a_n+1+a_n+2+cdots +a_n+p)=
- 23.具有发散重排的收敛级数
- 24.存在一个发散级数, 用重排不可能加快其发散程度
- 25.存在一个发散级数, 用重排可以任意减慢其发散程度
- 26.一个实数序列a_n,使级数sum∞_n=1al_n当l=5时发散, 而当l不等于5的任何奇正数时收敛
- 27.一个收敛级数sum∞_n=1a_n,使形如a_k+a_k+l+a_k+2l+a_k+3l+cdots 的子级数 (下标成等差级数,k,l为正整数) 都收敛, 而sum∞_n=1a_n并不绝对收敛
- 28.一个收敛级数sum∞_n=1a_n,使形如a_k+a_kl+a_kl2+cdots 的子级数 (下标成几何级数,k≤ 1, l≤ 2均为正整数) 都收敛, 而sum∞_n=1a_n并不绝对收敛
- 29.任意地划分奇正整数集为两个没有公共元素的子集D和C,一个实数序列a_n,使当lin C时级数sum∞_n=1al_n收敛, 而当lin D时sum∞_n=1al_n发散
- 30.对于任一条件收敛级数sum∞_n=1a_n和任一实数x,存在序列varepsilon_n,其中|varepsilon_n|=1, n=1,2,cdots ,能使sum∞_n=1varepsilon_na_n=x
- 31.非绝对收敛级数, 适当地引进括号后变成绝对收敛级数
- 32.收敛而不绝对收敛的无穷乘积
- 33.一个发散级数sum∞_n=1a_n,使无穷乘积DOTSB prod@ slimits@ ∞_n=1(1+a_n)收敛
- 34.级数sum∞_n=2a_n和sum∞_n=2a2_n都发散, 而无穷乘积DOTSB prod@ slimits@ ∞_n=1(1+a_n)却收敛
- 35.[1,+∞ )上的正值连续函数f,使intop nolimits +∞ _1f(x)dx收敛而sum∞_n=1f(n)发散
- 36.[1,+∞ )上的正值连续函数f,使intop nolimits +∞ _1f(x)dx发散而sum∞_n=1f(n)收敛
- 37.给定[0,1)上满足条件lim_xrightarrow 1f(x)=+∞ 的正值连续函数f,可构造具有非负系数的幂级数P,适合P(x)<f(x)且lim_xrightarrow 1P(x)=+∞
- 38.[0,1)上的一个适合条件f(0)>0且intop nolimits 1_0f(x)dx=+∞ 的递增连续函数f,使对任何具有非负系数的幂级数P,若P(x)≤ f(x),则intop nolimits 1_0P(x)dx<+∞
- 39.一个函数, 它的 Maclaurin 级数处处收敛, 但仅在一点与这个函数相合
- 40.一个函数, 它的 Maclaurin 级数仅在一点收敛
- 第六章 一致收敛
- 0.引言
- 1.在各个E_k (k=1,2,cdots )上一致收敛, 而在∪ ∞_k=1E_k上不一致收敛的函数序列
- 2.一个在紧集上一致有界的连续函数序列, 而不存在逐点收敛的子列
- 3.一个一致有界且处处收敛的连续函数序列, 它没有一致收敛的子列
- 4.一个有界函数序列, 它处处收敛于一个无界函数
- 5.一个不一致有界的函数序列, 它处处收敛于一个有界函数
- 6.一个连续函数序列的非一致极限, 它在一个稠密集上无处连续
- 7.一个连续函数序列, 它的非一致极限也是一个连续函数
- 8.一个递减的连续函数序列, 它处处收敛于某个连续函数, 但并不一致收敛
- 9.一个无处连续的函数序列, 它一致收敛于一个处处连续的函数
- 10.收敛而无处一致收敛的连续函数序列
- 11.一个各项间断的函数项级数收敛于一个连续函数, 但无处一致收敛
- 12.一个正整数序列a_1<a_2<cdots 及紧集C,使对任意xin C,qopname osina_nxrightarrow 0(nrightarrow ∞ ),而qopname osina_nx 在C上并不一致收敛
- 13.给定[0,+∞ )上的实值函数f,适合f(0)=0,f(1)≠0,lim_nrightarrow ∞ f(n)=0,可构造正整数序列a_n 及紧集C,使f(a_nx) 在C上收敛而非一致收敛
- 14.两个一致收敛的函数序列, 其乘积序列不一致收敛
- 15.一个连续函数序列f_n,它在[0,1]上一致收敛于f,然而, f_n的弧长的极限不等于f的弧长
- 16.通项一致趋于零但不一致收敛的函数项级数
- 17.通用的连续函数序列
- 18.一个一致收敛的函数项级数, 具有不一致收敛的重排
- 19.一个一致收敛的函数项级数, 却无处绝对收敛
- 20.级数sum∞_n=1u_n(x)绝对并一致收敛, 而sum∞_n=1|u_n(x)|并不一致收敛
- 21.一个绝对并一致收敛的函数项级数, 它无任何正项数值优级数
- 22.一个一致收敛的可微函数序列, 其导函数序列的极限不等于极限函数的导数
- 23.一个一致收敛的无穷可微函数序列, 其导函数序列无处收敛
- 24.一个非一致收敛的可微函数序列, 其导函数序列的极限等于极限函数的导数
- 25.[0,+∞ )上的一个一致收敛于零的广义(R)可积函数序列f_n,而使数列leftintop nolimits +∞ _0f_n(x)dxright 发散
- 26.[1,+∞ )上的一个一致收敛的广义(R)可积函数序列, 其极限函数并不广义(R)可积
- 第七章 点集的测度
- 0引言
- 1一个渐缩的可测集序列E_n, 使m(lim_nrightarrow ∞ E_n)≠lim_nrightarrow ∞ mE_n
- 2一个含于有限区间中的可测集序列E_n,使lim_nrightarrow ∞ mE_n存在, 但m(lim ∞ E_n)≠m(lim ∞ E_n)
- 3一个可测集序列E_n,使m(lim ∞ E_n)<lim ∞ mE_n
- 4.测度为零的不可数集
- 5.任给实数a (0<a<1),在[0,1]中可构造一个测度为A的完备疏集
- 6.直线上的一个稠密开集, 它的余集的测度为无穷大.
- 7.一个开集, 它的测度不等于它的闭包的测度.
- 8.一个可数的疏集, 其闭包具有正测度
- 9.使得每个实数都有凝聚点的零测度集.
- 10.[0,1]中测度等于1的第一纲集
- 11.[0,1]中测度等于零的第二纲集
- 12.[0,1]内一个两两不相交的完备疏集序列, 其并集的测度为1
- 13.[0,1]中测度为零的不可数的稠密集
- 14.[0,1]中的一个可测集E,使对任一非空开区间Isubset [0,1],恒有m(Icap E)>0,m(Icap Ec)>
- 15不可测集
- 16.一个两两不相交的集序列A_n,使m*(∪ ∞_n=1A_n)<sum∞_n=1m*A_n
- 17.一族可测集, 其并集不可测
- 18.一族可测集, 其交集不可测
- 19.一个有界的零测度集E,使E+E为一不可测集
- 20.R1的一个子集A,使A和Ac的每一可测子集其测度均为零
- 21.对每一有理数a,使x:f(x)=a 均为不可测集的函数f
- 22.[0,1]内的一个不可测集M,使m_*M=0, m*M=
- 23.导数几乎处处为零的单调的连续函数
- 24.函数f和g具有相同的导数, 而f和g并不相差一个常数
- 25.导数几乎处处为零的严格单调的连续函数
- 26.闭区间上具有原函数的有界函数而不(R)可积
- 27.(R)可积函数f和连续函数g,构成不(R)可积的复合函数f° g
- 28.一个收敛的单调一致有界的连续函数序列, 其极限函数不(R)可积
- 29.[0,1]上的一个可微函数g,使g''(0)存在, 而对任何b>0, g'在[0,b]上并不(R)可积
- 30.一个同胚映射, 它把一个测度为零的集映成测度大于零的集
- 31.[0,1]上的一个严格递增的连续函数varphi 和集Asubset [0,1],使mA=0而mvarphi (A)=
- 32.对任一完备疏集Esubset [0,1],一个从[0,1]到[0,1]上的同胚映射f,使mf(E)=
- 33.可测的非 Borel 集
- 34.一个同胚映射, 它把一个可测集映成不可测集
- 35.一个 Borel 测度为零的集, 其中含有非 Borel 可测集
- 36.两个 Borel 可测集B_1,B_2,使得B_1-B_2=x-y:xin B_1,yin B_2 不是 Borel 可测的
- 37.两个同胚的实数集, 其中一个是第一纲集而另一个是第二纲集
- 38.两个同胚的实数集, 其中一个是稠密集而另一个是疏集
- 39.定义于R1上的一个几乎处处为零的函数, 它在每个非空开区间上的值域都是R
- 40.R1上的一个函数, 它的图形在平面内稠密
- 第八章 可测函数
- 0.引言
- 1.一个收敛的递增的简单函数序列, 其极限函数不是简单函数
- 2.一个非零函数, 它与任何函数之积恒为可测函数
- 3.一个不可测函数, 其绝对值是可测函数
- 4.一族可测函数, 其上确界函数并不可测
- 5.R1上的一个可测函数f, 使sup_tin R1 |f(x+t)-f(x-t)|不可测
- 6.一个在任何(L)正测度集上均非(L)可测的函数, 它在任何非空区间上取每个实数作为函数值可达aleph 次
- 7.函数f, 使对任意实数a, E[x:f(x)=a]恒为可测集, 而f在E上并不可测
- 8.可测函数f和连续函数g, 构成不可测的复合函数f° g
- 9.可测函数f和递增函数g, 构成不可测的复合函数f° g
- 10.[a,b]上的一个一致有界的不可测函数序列f_n, 使对任一不可数集Asubset [a,b],f_n 中不存在在A上收敛的子列
- 11.任给趋于零的数列alpha_n, 可构造一个有界可测函数f, 使f(x-alpha_n) 并不几乎处处收敛于f(x)
- 12. leavevmodecolorredEgorov 定理的结论不能加强为除掉一个测度为零的集外,f_n 一致收敛于f
- 13. R1上的一个函数序列, 使 leavevmodecolorredEgorov 定理不成立
- 14. 一个不可测函数序列, 使 leavevmodecolorredEgorov 定理不成立
- 15.一族函数f_t(x)(tgeqslant 2), 对每一固定的t, 它是x的可测函数, 而对每一固定的x, 它是t的可测函数, 且lim_tto +∞ f_t(x)=0, 但f_t(x) 并不近一致收敛
- 16.[0,1]上的一个连续函数, 它在[0,1]上几乎处处取有理数值, 而在任何非空子区间上均非常值函数
- 17.一个无处连续的可测函数, 不论怎样改变此函数在任何测度为零的集上的值, 它仍然是无处连续的
- 18.不能把 leavevmodecolorredLuzin 定理中的连续函数改为多项式
- 19.[0,+∞ )上的函数序列f_n 和g_n, 使f_n 和g_n 在[0,+∞ )上分别依测度收敛于f和g, 而f_ng_n 在[0,+∞ )上并不依测度收敛于fg
- 20.一个依测度收敛的可测函数序列varphi_n 和连续函数F, 而构成并不依测度收敛的复合函数序列F° varphi_n
- 21.一个无处连续的(L)可测函数, 它不是(B)可测的
- 22.两个函数仅在一个(B)测度为零的集上彼此相异, 其中一个(B)可测而另一个非(B)可测
- 23.不与第一类函数中的任何一个函数对等的可测函数
- 24.属于不同类的两个函数, 而有相同的间断点
- 25.一个F_σ 型集的特征函数, 它不是第一类函数
- 26.一个(R)可积函数, 它不是第一类的函数
- 27.不与(R)可积函数对等的有界可测函数
- 第九章 Lebesgue 积分
- 0.引言
- 1.[0,1]上的一个(L)可积函数f,使sum∞_n=1nm E[x:f(x)geqslant n]=+∞
- 2.[0,+∞ )上的一个非负连续的(L)可积函数f,使lim_xrightarrow +∞ f(x)=0不成立
- 3.可测集E上的非负有界可测函数序列f_n,使lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_Ef_n(x)dx=0,而f_n 却无处收敛于零
- 4.[0,1]上的一个实值连续函数序列f_n,使f_1(x)geqslant f_2(x)geqslant cdots geqslant 0,且若有连续函数f适合f_n(x)geqslant f(x)geqslant 0 (n=1,2,cdots ),则f≡ 0.但lim_nrightarrow ∞ intop nolimits 1_0f_n(x)dx≠
- 5.一个在E上并不依测度收敛于零的函数序列f_n,使对每一可测集esubset E,都有lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_ef_n(x)dx=
- 6.任给趋于零的数列a_n,可构造一个非负可测函数序列f_n,使sum∞_n=1a_nintop nolimits_Ef_n(x)dx收敛, 而f_n 在E上无处收敛于零
- 7.一个(L)可积函数f和有限个区间的并集I(n),使lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_I(n)f(x)qopname ocosnxdx≠
- 8.(L)可积而不(R)可积的有界函数
- 9.广义(R)可积而不(L)可积的函数
- 10.(L)可积而不广义(R)可积的非负函数
- 11.任给非几乎处处有界函数f,可构造一个(L)可积函数g,使fg不(L)可积
- 12.[0,1]上的一个有界可测函数f,使对任何(R)可积函数g,都有intop nolimits_[0,1]|f(x)-g(x)|dx>
- 13.在每个子集上都(L)可积, 但在并集上并不(L)可积的函数
- 14.R1上的一个非负(L)可测函数f, 使对任何区间(a,b)(a<b)及rin R1,恒有m(a,b)capx:f(x)geqslant r>0,但intop nolimits_R1f(x)dx≠+∞
- 15.函数f,处处适合0≤ f(x)<+∞ ,但在每个非空开区间(a,b)上, intop nolimits b_af(x)dx=+∞
- 16.任给fin L[a,b],可构造集Asubset [a,b],使mA=b-a,且对任一rin R1和任一xin A,都有lim_hrightarrow 0frac1hintop nolimits x+h_x|f(t)-r|dt=|f(x)-r|
- 17.[0,+∞ )上的一个非负的上半连续函数f,使intop nolimits +∞ _0f(x)dx=+∞ ,而对每一h>0,有sum∞_n=1f(nh)<+∞
- 18.R1上的一个一致有界的(L)可测函数序列f_n,使对任何区间[a,b],f_n 中都不存在在[a,b]上几乎处处收敛的子列
- 19.Lebesgue 有界收敛定理中mE<+∞ 的条件不可去掉
- 20.Lebesgue 有界收敛定理中函数序列一致有界的条件不可去掉
- 21.Lebesgue 控制收敛定理中控制函数的可积性的条件不可去掉
- 22.Vitali 定理中mE<+∞ 的条件不可去掉
- 23.使 Fatou 引理中等号不成立的函数序列
- 24.一个变号的收敛可测函数序列, 使 Fatou 引理的结论不成立.
- 25.Levi 定理中函数序列非负性的条件不可去掉
- 26两个平方(L)可积的函数, 它们的和不是平方(L)可积的
- 27.一个非负函数f,使fin L2[1,+∞ ),但intop nolimits +∞ _1fracf(x)sqrtxdx=+∞
- 28.不属于任何Lp(0,1)(p>0)的非负可测函数
- 29.属于Lp-delta (0,a)而不属于Lp(0,a)的非负可测函数, 其中0<delta <p
- 30.属于L2(0,+∞ )而不属于任何Lp(0,+∞ )(p>0,p≠2)的非负可测函数
- 31.函数f和g,使intop nolimits_E|f(x)+g(x)|pdx1/ptmspace -thinmuskip.1667em>tmspace -thinmuskip.1667emintop nolimits_E|f(x)|pdx1/ptmspace -thinmuskip.1667em+tmspace -thinmuskip.1667emintop nolimits_E|g(x)|pdx1/p,这里, 0<p<1.
- 32.连续单调函数g和连续函数f,适合intop nolimits 1_0f(x)dg(x)≠intop nolimits 1_0f(x)g'(x)dx
- 33.函数f与g,使f关于g是 Lebesgue-Stieltjes 可积而不是 Riemann-Stieltjes 可积
- 34.使lim_prightarrow +∞ ‖f‖_Lp(E)=‖f‖_L∞ (E) 不成立的函数f
- 35.L∞ (R1)中的一个函数f,使不存在R1上的连续函数序列f_n,适合lim_nrightarrow ∞ ‖f-f_n‖_L∞ (R1)=
- 36.R1上的一个非负(L)可积函数, 使对任何非空区间[a,b],它在[a,b]上都不是本性有界的
- 37.一个(L)可积函数, 它的某个近似连续点不是 Lebesgue 点
- 38.存在函数f,使f(x_0)是其不定积分在x_0的导数,但f在点x_0并不近似连续
- 第十章 不同意义收敛的函数序列
- 0.引言
- 1.几乎处处收敛与测度收敛之间的关系
- 2.近一致收敛与几乎处处收敛之间的关系
- 3.一致收敛与平均收敛之间的关系
- 4.几乎处处收敛与平均收敛互不蕴涵
- 5.几乎处处收敛与弱收敛互不蕴涵
- 6.测度收敛与弱收敛互不蕴涵
- 7.近一致收敛与平均收敛互不蕴涵
- 8.测度收敛而非近一致收敛的函数序列
- 9.弱收敛而非平均收敛的函数序列
- 10.r次幂平均收敛而不p(1≤ r<p)次幂平均收敛的函数序列
- 11.[0,1]上的一个函数序列f_n,适合‖f_n‖_Lr[0,1]≤ M(n=1,2,cdots ),f_n 在[0,1]上处处收敛于f,但lim_nrightarrow ∞ ‖f_n-f‖_Lr[0,1]≠
- 12.一个在E上几乎处处收敛于f的函数序列f_nsubset L(E),使sup_n‖f_n‖=K<+∞ ,而f_n 并不弱收敛于f
- 13.R1上的一个(L)可积的连续函数序列f_n,适合 (i)lim_|x| ∞ f_n(x)=0,(ii)sup_n‖f_n‖_L(R1)<+∞ ,(iii)f_n 在R1上一致收敛于f,但f_n 中不存在子列f_n_k 使lim_krightarrow ∞ ‖f_n_k-f‖_L(R1)=
- 第十一章 有界变差函数与绝对连续函数
- 0.引言
- 1.一个非有界变差函数, 其绝对值是有界变差函数
- 2.全变差为无穷大的可微函数
- 3.不满足任何阶 H"older 条件的有界变差函数
- 4.满足α (0<α<1)阶 H"older 条件而不是有界变差的函数
- 5.不满足任何α (α>0)阶 H"older 条件且不是有界变差的连续函数
- 6.在[0,1]上连续而在[0,1]的任一非空子区间上皆非有界变差的函数
- 7.在[0,1]上有界变差而在[0,1]的任一非空子区间上都不连续的函数
- 8.两个有界变差函数, 构成非有界变差的复合函数
- 9.两个皆非有界变差的函数, 构成有界变差的复合函数
- 10.一个有界变差函数序列, 其上确界函数并不有界变差
- 11.一个一致收敛的有界变差函数序列, 其极限函数并不有界变差
- 12.一个不是有界变差的函数序列, 却一致收敛于一个有界变差函数
- 13.一个有界变差函数序列, 它的任何子列都有不收敛的点
- 14.一个有界变差函数序列, 其全变差并不一致有界, 但有收敛的子列
- 15.任给不连续函数f， 可构造一个有界变差函数g, 使f关于g的积分intop nolimits_ab f(x)dg(x)不存在
- 16.任给全变差为无穷大的函数g, 可构造一个连续函数f, 使f关于g的积分intop nolimits_ab f(x)dg(x)不存在
- 17.一个一致收敛的有界变差的函数项级数, 而不能几乎处处逐项微分
- 18.一个可微的有界变差函数f, 使V(x)=intop nolimits_0x |f'(t)|dt不可微
- 19.[0,1]上的一个有界变差函数f, 使mathopV_01(f)≠intop nolimits_-∞ +∞ K(y)dy, 其中K(y)代表适合f(x)=y的x的个数
- 20.非常值的局部循环的无处单调的有界变差函数
- 21.[0,2π ]上的一个一致收敛于某个有界变差函数f的有界变差函数序列f_n, 使 lim_nto ∞ mathopV_02π (f_n)≠mathopV_02π (f)
- 22.[0,1]上的一个可微函数f, 使Z=x: f'(x)=0 及Zc均在[0,1]中稠密, 但f'在[0,1]上并不(L)可积
- 23.[0,1]上的一个可微函数f, 使f'有界且Z=x:f'(x)=0 及Zc在[0,1]内稠密,Z≠x:f' unhbox voidb@x hbox在 x unhbox voidb@x hbox连续
- 24.一个绝对连续函数f, 使|f|p (0<p<1)不是绝对连续函数
- 25.一致连续而不绝对连续的函数
- 26.两个绝对连续函数, 构成不绝对连续的复合函数
- 27.两个皆非绝对连续的函数, 而构成绝对连续的复合函数
- 28.不满足某些 H"older 条件的绝对连续函数
- 29.无处单调的绝对连续函数
- 30.一个可微函数, 其导数在任何非空区间上(L)可积而不(R)可积
- 31.一个具有性质(N)的函数, 它不是绝对连续的函数
- 32.一个一致收敛的绝对连续函数序列, 其极限函数并不绝对连续
- 33.一个不是绝对连续的函数序列, 却一致收敛于一个绝对连续的函数
- 34.任给[0,1]中测度为零的集E, 可构造[0,1]上的一个不减的绝对连续函数f, 使对每一xin E, 都有f'(x)=+∞
- 35.一个严格递增的连续函数, 它并不绝对连续
- 36.一个在[0,1]上严格递增的连续函数, 它在任何非空区间[α,β ]subset [0,1]上都不是绝对连续的
- 37.一个严格递增的绝对连续函数, 它把某个测度大于零的集映成测度等于零的集
- 38.一个严格递增的绝对连续函数, 其反函数并不绝对连续
- 第十二章 Fourier 级数
- 0.引言
- 1.Dini 判敛法和 Jordan 判敛法互不蕴涵
- 2.Young 判敛法与 Dini 判敛法互不蕴涵
- 3.Young 判敛法与 de la Vall'ee Poussin 判敛法互不蕴涵
- 4.Jordan 判敛法失效但能用 de la Vall'ee Poussin 判敛法的 Fourier 级数
- 5.Jordan 判敛法失效但能用 Young 判敛法的 Fourier 级数
- 6.Dini 判敛法失效但能用 de la Vall'ee Poussin 判敛法的 Fourier 级数
- 7.一个处处收敛的三角级数, 其和函数并不(L)可积
- 8.一个收敛的三角级数, 它不是某个(L)可积函数的 Fourier 级数
- 9.一个三角级数,它不是Fourier-Lebesgue级数,但却是Fourier-Stieltjes级数
- 10.任给趋于零的正数序列varepsilon_n, 可构造连续函数f,使f的 Fourier 系数有以下关系:|a_n|geqslant varepsilon_n或 |b_n|geqslant varepsilon_n对无穷多个n成立
- 11.一个(R)可积函数, 其 Fourier-Riemann 系数并不趋向于零
- 12.任给数列lambda_n,lim_nrightarrow ∞ lambda_n=+∞ ,lambda_n=o(n),可构造(R)可积函数f,它的 Fourier-Riemann 系数b_n>lambda_n对无穷多个n成立
- 13.一个连续函数f,使对任何varepsilon >0,级数sum∞_n=2(|a_n|2-varepsilon +|b_n|2-varepsilon )发散, 其中a_n,b_n是f的 Fourier 系数
- 14.Hα[0,2π ](0<α≤ 1)中的一个函数f,使级数sum∞_n=2(|a_n|β +|b_n|β )发散, 其中β =2/(2α+1)
- 15.H1/2[0,2π ]中的一个函数, 其 Fourier 级数并不绝对收敛
- 16.一个三角级数, 它在某个可数集上收敛, 但其系数并不趋向于零
- 17.系数趋于零而又处处发散的三角级数
- 18.Hα[0,2π ](0<α<1)中的一个函数, 其 Fourier 系数c_n≠o(n-α)
- 19.一个连续的有界变差函数, 其 Fourier 系数不等于o(1/n)
- 20.一个余弦级数, 其系数单调递减且趋向于零, 但其和函数并不(L)可积
- 21.一个有界变差函数, 其 Fourier 级数并不绝对收敛
- 22.一个(L)可积函数f,使级数sum∞_n=1a_n/n发散, 其中a_n=frac1π intop nolimits π_-π f(x)qopname ocosnxdx
- 23.一个以2π 为周期的连续函数, 其 Fourier 级数仅仅在x=0 (mod 2π )这些点发散, 而在x≠0(mod 2π )各点收敛
- 24.L[0,2π ]中的一个函数f, 其 Fourier 级数在[0,2π ]上几乎处处无界发散
- 25.一个 Fourier 级数, 其共轭级数不是 Fourier 级数
- 26.一个(L)可积函数, 其共轭函数在任何非空闭区间上都不(L)可积
- 27.L[0,2π ]中的一个函数, 其 Fourier 级数在[0,2π ]上几乎处处有界发散
- 28.L(+ln+ L)1-varepsilon 中的一个函数, 其 Fourier 级数几乎处处发散
- 29.[0,2π ]上的一个(L)可积函数f,它的共轭函数mathaccentVbar016f 也是(L)可积的, 并且f与mathaccentVbar016f 的 Fourier 级数在[0,2π ]上都是几乎处处发散的
- 30.任给F_σ 型集Esubset [0,2π ],可构造函数fin L[0,2π ],它的 Fourier 级数在E上收敛, 而在[0,2π ]setminus E上为无界发散
- 第十三章 平面点集
- 0.引言
- 1.序列x_n与y_n 均有聚点, 而(x_n,y_n) 没有聚点
- 2.一个可数集E,使E'具有连续统的势, 且Ecap E'=Ø
- 3.具有不可数闭包的孤立点集
- 4.距离为零的两个不相交的闭集
- 5.平面上的一个开集, 它不能表成有限个或可数个两两不相交的的开区间的并集
- 6.单位正方形内的一个可测子集, 它不能表成可数个“矩形”的并集
- 7.一个平面点集E,一方面E可表成两个不相交的集A与B 的并, 另一方面, E分别与A及B 可合
- 8.平面完备疏集 ------ Sierπ'nski 地毯、Sierπ'nski 墓垛和 Cantor 栉
- 9.任给实数a(0<a<1), 可在[0,1]× [0,1]中构造一个完备疏集E, 满足mE=a
- 10.Sierπ'nski 连续点集
- 11.平面上的一个(L)可测集, 它在坐标轴上的射影都不是(L)可测的
- 12.单位正方形[0,1]× [0,1]内的一个子集, 它在[0,1]× [0,1]内稠密, 但在任一平行于坐标轴的直线上都是无处稠密的
- 13.单位正方形I=[0,1]× [0,1]的一个子集A在I内稠密, 而且与I相交的每一条铅直或水平直线恰好交A于一点
- 14.平面内的一个稠密集, 它不含有三个共线的点.
- 15.与任一直线至多有两个公共点的不可测平面集
- 16.区间[0,1]到正方形[0,1]× [0,1]上的一个映射
- 17.充实空间的连续曲线
- 18.充实空间的连续曲线的简单例题
- 19.R3内的一条简单弧, 它在平面上的投影成为一个三角形
- 20.[0,1]到[0,1]上的一个连续映射, 每个值取的次数不可数
- 21.Cantor 曲线、Jordan 曲线和平面上连接区域的边界, 这三个概念两两相异
- 22.不可求长的简单弧
- 23.不可求长并在每一点都有切线的简单弧
- 24.每两个不同点之间的弧段长度无限的简单弧
- 25.[0,1]上的一个递增的连续函数f(x), 它所对应的曲线之长不能用(L)积分intop nolimits 1_0sqrt1+[f'(x)]2dx来表示
- 26.一个有界变差函数, 使lim_delta rightarrow 0s(Delta )=s不成立
- 27.一个不连续函数, 而有lim_delta rightarrow 0s(Delta )=s
- 28.单位正方形内的一条简单弧, 其平面测度可以任意接近 1
- 29.有共同边界的四个两两不相交的平面区域
- 30.与自己的闭包的内部不同的平面区域
- 31.与自己的闭包的内部相等的非 Jordan 区域
- 32.边界的测度为正数的有界平面区域
- 33.图形为不可测平面集的单实变实值函数
- 34.没有面积的有界平面集
- 35.没有面积的紧平面集
- 36.没有面积的有界平面区域
- 37.没有面积的有界平面 Jordan 区域
- 38.一条简单闭曲线, 它的平面测度比它围成的有界区域的平面测度还要大
- 39.一个曲面, 它的内接多面体的面积不收敛于它的面积
- 第十四章 二元函数
- 0.引言
- 1.两个累次极限都存在而不相等的函数
- 2.两个累次极限存在且相等, 但二重极限不存在的函数
- 3.二重极限存在而两个累次极限都不存在的函数
- 4.二重极限和一个累次极限存在, 而另一个累次极限不存在的函数
- 5.仅有一个累次极限存在的函数
- 6.在原点没有极限, 但沿着任一直线逼近原点时极限值都为零的函数
- 7.分别对各个变量连续的间断函数
- 8.函数f(x,y),它沿着从点(x_0,y_0)引出的任何直线在(x_0,y_0)都是连续的, 但f(x,y)在(x_0,y_0)并不连续
- 9.[0,1]× [0,1]上的一个无处连续函数f(x,y),使对每一yin [0,1],f(x,y)是x的连续函数
- 10具有各阶偏导数的不连续函数
- 11.二阶混合偏导数相等而不连续的函数
- 12.函数f, 使f_x(0,y)是y的连续函数, 而f_y(x,0)不是x的连续函数
- 13.两个偏导数在某点连续, 而本身在该点的任何邻域内不连续的函数
- 14.偏导数存在, 但沿任何其他方向的导数都不存在的函数
- 15.函数f,使f_yx(x,y)存在而f_x(x,y)不存在
- 16.仅在一点连续并可微的函数
- 17.可微而不连续可微的函数
- 18.函数f,它在某点的邻域内连续且有有界的偏导数, 但f在该点仍不能微分
- 19.偏导数均不连续的可微函数
- 20.二阶混合偏导数不相等的可微函数
- 21.在某点沿任何方向可微, 而在该点并不连续的函数
- 22.有关的一切偏导数都存在, 但复合函数求导公式不成立的函数
- 23.在平面区域D内f_y(x,y)≡ 0,但是f在D内并非与y无关的连续可微函数
- 24.函数F(x,y),尽管F_y(x_0,y_0)=0,但在(x_0,y_0)的某个邻域内, 由方程F(x,y)=0能唯一确定y为x的函数y=f(x),并且y_0=f(x_0)
- 25.函数f,使max_ymin_xf(x,y)<min_xmax_yf(x,y)
- 26.函数f,使f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0,但(x_0,y_0)并非f(x,y)的极值点
- 27.一个可微函数, 它在定义域内只有一个驻点, 而且这驻点是局部极大 (小) 点, 但它不是最大 (小) 点
- 28.函数f,它在某点的偏导数不存在, 但能在该点取得极值
- 29.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数
- 30.函数f,它在原点无局部极值, 但对任一过原点的直线,f沿此直线上, 原点为其取得局部极小值的点
- 31.函数f(x,y),对每一x,它是y的 Borel 可测函数, 对每一y,它是x的 Borel 可测函数, 但f(x,y)并不(L)可测
- 第十五章 二重积分
- 0.引言
- 1.两个(R)累次积分存在而不相等的函数
- 2.两个(R)累次积分存在且相等, 但(R)二重积分不存在的函数
- 3.(R)二重积分存在而两个(R)累次积分都不存在的函数
- 4.(R)二重积分不存在, 而只有一个(R)累次积分存在的函数
- 5.(R)二重积分存在, 但只有一个(R)累次积分存在的函数
- 6.一个发散的广义(R)二重积分, 它的两个累次积分都存在
- 7.广义(R)二重积分intop nolimits 1_0intop nolimits 1_0f(x,y)dxdy 存在, 且对每一xin [0,1],积分intop nolimits 1_0f(x,y)dy 存在, 但累次积分intop nolimits 1_0dxintop nolimits 1_0f(x,y)dy 不存在的函数f
- 8.函数f(x)与g(y),它们分别在0≤ x<+∞ 与0≤ y<+∞ 上广义(R) 可积, 但f(x)g(y) 在[0,+∞ )× [0,+∞ ) 上并不广义(R) 可积
- 9.[0,1]× [0,1] 上的一个(L) 可积函数f(x,y),而并不对每一xin [0,1],使把f(x,y) 看作y 的函数时, 它在[0,1] 上是(L) 可积的
- 10.[0,1]× [0,1] 上的一个不可测函数, 它的两个(L) 累次积分均存在且相等
- 11.[0,1]× [0,1]上一不可测函数,它的一个(L)累次积分存在而另一个不存在
- 12.[0,1]× [0,1] 上的一个不可测函数, 它的两个(L) 累次积分存在而不相等
- 13.一个可测函数, 它的两个(L) 累次积分一个存在而另一个不存在
- 14.一个可测函数, 它的两个(L) 累次积分存在而不相等
- 15.一个可测函数, 它的两个(L) 累次积分存在且相等, 但它并不(L) 可积
- 16.[0,1]× [0,1] 上的一个函数f,使对任意可测集Esubset [0,1],Fsubset [0,1],恒有intop nolimits_E dx intop nolimits_F f(x,y) dy=intop nolimits_F dy intop nolimits_E f(x,y) dx, 但f在[0,1]× [0,1]上仍不(L)可积
- 17.一个间断函数f,使intop nolimits 1_0 f(x,y)dx 是连续函数
- 18.函数f,使intop nolimits 1_0f(x,y)dx 是间断函数
- 19.一个连续函数f,使intop nolimits +∞ _0 f(x,y)dx 是间断函数
- 20.一个一致收敛的参变量积分, 不能以与参数无关的收敛积分为优函数
- 参考文献
- 名词索引
