本书共分两部分。第一部分包括前三章，是为不曾学习过Lebesgue积分的学生设计的。重点是第三章测度与积分，完整地讲述Rn上的Lebesgue积分论；第一章实数的十进表示和第二章Euclid空间(Rn),则是对必要的预备知识进行复习。
第二部分包括后三章，是为在数学分析课程中已经学过Lebesgue积分的学生设计的。其中,第四章根据单变元函数随自变量而变化的性态进行分类研究;第五章对Rn上的函数按可积性进行分类研究;第六章讨论函数到函数的变换——算子,介绍最简单的一些算子。第二部分的内容充分展现Lebesgue积分理论对研究函数的巨大作用,是本科学生继续进入研究生阶段学习的良好准备。
本书可作为高等学校数学类专业实变函数课程的教材或教学参考书，还可供科技工作者参考。
- 前辅文
- 第一部分 预备知识及积分论
- 第一章 实数的十进表示
- 1.1 实数的十进表示的定义
- 1.2 有理数的十进表示与本原表示的关系
- 1.3 $Bbb R$的算术结构——四则运算,大小关系及绝对值
- 习题1
- 第二章 Euclid空间
- 2.1 实数列与实数集的一些性质
- 2.1.1 数集的“界”和“确界”，数列的“极限”和上、下“极限”
- 2.1.2 实数集的基数
- 习题2.1
- 2.2 Euclid空间$rn$
- 2.2.1 Euclid空间
- 2.2.2 紧致性的概念
- 2.2.3 $rn,$中的开集的结构
- 习题2.2
- 第三章 测度与积分
- 3.1 测度
- 3.1.1 外测度
- 3.1.2 测度
- 3.1.3 Borel集是可测集
- 3.1.4 通过开集刻画可测集
- 3.1.5 不可测集
- 习题3.1
- 3.2 可测函数
- 3.2.1 基本概念
- 3.2.2 可测函数的结构
- 3.2.3 连续函数的延拓
- 习题3.2
- 3.3 积分的定义及基本理论
- 3.3.1 积分的定义及基本性质
- 3.3.2 积分号下取极限
- 3.3.3 把多重积分化为累次积分
- 3.3.4 积分的变量替换
- 习题3.3
- 3.4 几乎连续函数及其积分
- 习题3.4
- 3.5 微积分基本定理
- 3.5.1 基本定理
- 3.5.2 换元积分法
- 3.5.3 分部积分法
- 习题3.5
- 3.6 补充一些例子
- 习题3.6
- 第二部分 实变函数的分类及函数空间上的算子
- 第四章 一元函数的变化性态
- 4.1 单调函数
- 习题4.1
- 4.2 有界变差函数
- 习题4.2
- 4.3 绝对连续函数
- 习题4.3
- 4.4 Cantor集与Cantor函数
- 习题4.4
- 4.5 凸函数
- 习题4.5
- 第五章 多元函数的分类
- 5.1 $C_c$空间
- 习题5.1
- 5.2 $L^p (1leqslant p< infty)$空间
- 习题5.2
- 5.3 从$L^2$ 空间到一般内积空间
- 习题5.3
- 5.4 空间$C_2pi$
- 习题5.4
- 第六章 通过算子研究函数
- 6.1 函数空间$C[0,1]$上的线性正算子——Bernstein算子
- 习题6.1
- 6.2 函数空间$C_2pi$上的线性正算子——Fej'er算子
- 习题6.2
- 6.3 Hardy-Littlewood极大算子
- 习题6.3
- 6.4 卷积算子及逼近恒同
- 习题6.4
- 索引
