《数学分析讲义》共分三册,其中第一、二册涵盖了微积分的基本内容,是理工科一年级各专业学生必须掌握的微积分基础知识。在此基础上,第三册在广度和深度上做进一步增加和提高,满足数学类专业学生的需要。从结构上看,本教材将根据内容编写的“分块式”结构改变为按照层级编写的“分层级”结构,力争适应于当前高等学校“按学科大类招生”和学生“自主选择专业”的需要。本教材已经在中国科学技术大学“少年班”等各类教改试点班试用十多年,取得了较好效果,积累了较丰富的经验。
本册补充了扩展数字资源,以二维码示意。
本教材可供综合性大学数学类专业作为数学分析教材使用,其中前两册可独立地作为理工科各专业关于微积分的教材。
- 第 14 章 实数理论
- S14.1预备知识
- 14.1.1 量词的规则
- 14.1.2 无限集合
- 14.1.3 有理数系
- 习题 14.1
- S14.2实数的定义
- 14.2.1 实数的定义
- 14.2.2 实数的算术
- 习题 14.2
- 14.3.1 实数列的极限
- 14.3.2 完备性
- 14.3.3 确界与极限点
- 14.3.
- 习题 14.3
- S14.4实直线的拓扑
- 14.4.1 开集与闭集
- 14.4.2 紧致集合
- 习题 14.4
- S14.5 实数系的其他等价形式
- 14.5.1 无限十进小数
- 14.5.2 Dedekind 分割
- 习题 14.5
- 第 15 章 连续性与收敛性
- S15.1连续函数
- 15.1.1 连续的等价条件
- 15.1.2 函数的一致连续性
- 15.1.3 连续函数的性质
- 15.1.4 单调函数
- 习题 15.1
- S15.2级数的收敛性
- 15.2.1 收敛与绝对收敛
- 15.2.2 一致收敛
- 15.2.3 等度连续
- 习题 15.2
- S15.3连续函数的多项式逼近
- 15.3.1 Weierstrass 一致逼近定理
- 15.3.2 卷积与单位近似
- 15.3.3 Weierstrass 一致逼近定理的证明
- 15.3.4 导函数的一致逼近
- 习题 15.3
- S15.4Fourier级数的收敛性
- 15.4.1 部分和函数的积分表示
- 15.4.2 逐点收敛
- 15.4.3 一致收敛
- 15.4.4 Ces\`aro (塞萨罗)和的收敛性和平方平均收敛
- 习题 15.4
- 第 16 章 度量空间的连续函数
- S16.1$\mathbb R^n$与度量空间
- 16.1.1 内积与范数
- 16.1.2 距离
- 16.1.3 极限与完备性
- 习题 16.1
- S16.2度量空间的拓扑
- 16.2.1 开集
- 16.2.2 闭集与紧致集合
- 习题 16.2
- S16.3度量空间上的连续函数
- 16.3.1 连续的定义
- 16.3.2 压缩映射原理
- 16.3.3 紧致空间上的连续函数
- 16.3.4 连通性
- 习题 16.3
- 第 17 章 映射的微分
- S17.1线性映射
- S17.2映射的微分
- 17.2.1 可微映射
- 17.2.2 复合映射的微分
- 17.2.3 拟微分中值定理
- 习题 17.2
- S17.3逆映射定理
- S17.4隐映射定理与秩定理
- 17.4.1 隐映射定理
- 17.4.2 秩定理
- 习题 17.4
- S17.5条件极值
- 17.5.1 $m$维曲面
- 17.5.2 切空间
- 17.5.3 条件极值
- 习题 17.5
- 第 18 章 Riemann积分
- S18.1$\mathbb R^2$的有面积集合
- 18.1.1 面积的定义
- 18.1.2 面积的基本性质
- 习题 18.1
- S18.2Riemann积分
- 18.2.1 积分的定义
- 18.2.2 积分的基本性质
- 习题 18.2
- S18.3可积函数类
- S18.4 重积分换元公式
- 18.4.1 行列式与体积
- 18.4.2 换元公式
- 习题 18.4