本书核心内容为空间Rn上Lebesgue测度和Lebesgue积分理论。作为预备知识,先介绍了集合论和Rn空间的基础知识；作为Lebesgue积分的重要应用,后面介绍了Lp空间理论、Fourier级数与Fourier变换；作为拓展知识,本书介绍了一点集合环上测度的扩张。
本书可作为高等学校“实变函数论”课程的教材,由于学时限制,部分内容课堂内不能完成讲授,可供有能力的学生自学和教师参考。
- 前辅文
- 第一章 集合及其基数
- §1 集合及其运算
- §2 集合的基数
- §3 可数集合
- §4 不可数集合
- 自测题一
- 第二章 n维空间中的点集
- §1 聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理
- §2 开集、闭集与完备集
- §3 p进位表数法
- §4 一维开集、闭集、完备集的构造
- §5 点集间的距离
- 自测题二
- 第三章 测度理论
- §1 开集的体积
- §2 点集的外测度
- §3 可测集合及测度
- §4 乘积空间
- §5 保距映射的保测性
- *§6 集合环上的测度的扩张
- 自测题三
- 第四章 可测函数
- §1 可测函数的定义及其简单性质
- §2 Egorov定理
- §3 可测函数的结构Luzin定理
- §4 依测度收敛
- 自测题四
- 第五章 积分理论
- §1 非负函数的积分
- §2 可积函数
- §3 Fubini定理
- §4 微分与不定积分
- *§5 一般测度空间上的Lebe
- sgue积分
- 自测题五
- 第六章 函数空间Lp
- §1 空间Lp
- §2 Hilbert空间L2
- *§3 Zorn引理2中基底的存在性
- 自测题六
- 第七章 Fourier级数与Fourier变换
- §1 Fourier级数的收敛判别
- §2 Fourier级数的C-1求和
- §3 L1(R1)上的Fourier变换
- §4 L2(R1)上的Fourier变换
- 自测题七
- 参考书目与文献
- 索引
实变函数论数字课程与纸质教材一体化设计，紧密配合。数字课程提供数学史料、自测题等数字资源，充分运用多种媒体资源，丰富了知识的呈现形式，拓展了教材内容，在提升课程教学效果的同时，为学生学习提供思维与探索的空间。
