变分法是研究泛函极值问题的一门科学，是古典数学的一个分支。
本书共分六章。第一章介绍泛函分析的一些基本概念和符号；第二章、第三章提出四个古典的变分模型，讨论泛函取得极值的必要条件、各种形式的欧拉方程、条件变分、一阶变分的一般形式、自然边界条件、变动边界与横截条件；第四章介绍物理学、力学中的变分原理，二次泛函极小与特征值的关系，正定算子的极小泛函；第五章介绍变分学中的直接方法；第六章介绍极值的充分条件。
本书可作为应用数学、应用物理及应用力学等专业本科生、研究生的教材，也可作为科技工作者的参考书。
- 前辅文
- 第一章 预备知识
- §1.1 n维向量与无穷维向量
- §1.2 函数空间
- §1.3 映射、泛函与泛函极值的概念
- 第二章 极值的必要条件——欧拉方程
- §2.1 经典的变分问题
- §2.2 欧拉方程
- §2.3 欧拉方程的积分法与退化情形
- §2.4 变分的概念及其运算
- §2.5 含有多个函数的情形
- §2.6 含有高阶导数的情形
- §2.7 两个以上的独立变量的情形
- §2.8 参数表示式
- §2.9 欧拉方程的不变性
- 第三章 条件变分与变动边界问题
- §3.1 等周问题
- §3.2 短程线问题
- §3.3 微分方程作为附加条件
- §3.4 自由边界和自然边界条件
- §3.5 一阶变分的一般形式
- §3.6 变动边界问题与横截条件
- §3.7 隐泛函取得极值的必要条件
- *§3.8 标枪投掷的数学模型
- 第四章 物理学、力学中的变分原理和数学物理中的微分方程
- §4.1 费马原理
- §4.2 哈密顿原理
- *§4.3 正则方程及其雅可比-哈密顿方程
- §4.4 最小势能原理
- §4.5 二次泛函的极小问题及其与特征值问题的关系
- §4.6 正定算子的极小泛函
- §4.7 泛函的极值与微分方程
- 第五章 变分学中的直接方法
- §5.1 里茨方法
- §5.2 伽辽金方法
- §5.3 化为常微分方程的解法——半解析法
- §5.4 有限元方法简介
- 第六章 极值的充分条件
- §6.1 极值问题的分类
- §6.2 魏尔斯特拉斯函数与勒让德条件
- §6.3 雅可比条件与共轭点
- §6.4 极值曲线场与极值曲线的嵌入概念
- §6.5 希尔伯特积分及充分性定理
- *附录 关于转子强度的半解析计算法
- 部分习题答案
- 参考文献
