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变分学讲义
变分学是数学分析的一个重要组成部分，是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来，变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展，与数学其他分支的联系也更加紧密，已经成为大学数学教育不可缺少的部分。
本书是作者在北京大学为高年级本科生和低年级研究生开设“变分学”课程所用的讲义。全书共二十讲，分为三大部分：第一部分（一到八讲）是经典变分学的基本内容，第二部分（九到十四讲）重点介绍直接方法及其理论基础，第三部分（十五到二十讲）是专题选讲。其材料的选取，内容的编排，问题与概念的表述，以及证明的分析与讲解均极具特色。
本书适用于数学及相关专业的本科生、研究生、教师以及研究人员，也可供工科、经济学、管理学等专业的教师和学生使用参考。
作者：
张恭庆 编著
定价：
49.00 元
出版时间：
2011-06-24
ISBN：
978-7-04-031958-3
物料号：
31958-00
读者对象：
学术著作
一级分类：
自然科学
二级分类：
数学与统计
三级分类：
函数论
重点项目：
暂无
版面字数：
350千字
开本：
16开
装帧形式：
平装
页数：
319
最新印次时间：
2026年01月
- 目录
- 前辅文
- 第一讲变分学与变分问题
- §1.1 前言
- §1.2 泛函
- §1.3 典型例子
- §1.4 进一步的例子
- §1.1 前言
- 第二讲Euler-Lagrange 方程
- §2.1 函数极值必要条件之回顾
- §2.2 Euler-Lagrange 方程的推导
- §2.3 边值条件
- §2.4 求解Euler-Lagrange 方程的例子
- §2.1 函数极值必要条件之回顾
- 第三讲泛函极值的必要条件与充分条件
- §3.1 函数极值的再回顾
- §3.2 二阶变分
- §3.3 Legendre-Hadamard 条件
- §3.4 Jacobi 场
- §3.5 共轭点
- §3.1 函数极值的再回顾
- 第四讲强极小与极值场
- §4.1 强极小与弱极小
- §4.2 强极小值的必要条件与Weierstrass 过度函数
- §4.3 极值场与强极小值
- §4.4 Mayer 场, Hilbert 不变积分
- §4.5 强极小值的充分条件
- §4.6 定理4.4 的证明(N > 1 的情形)_
- §4.1 强极小与弱极小
- 第五讲Hamilton-Jacobi 理论
- §5.1 程函与Carath′eodory 方程组
- §5.2 Legendre 变换
- §5.3 Hamilton 方程组
- §5.4 Hamilton-Jacobi 方程
- §5.5 Jacobi 定理
- §5.1 程函与Carath′eodory 方程组
- 第六讲含多重积分的变分问题
- §6.1 Euler-Lagrange 方程的推导
- §6.2 边值条件
- §6.3 二阶变分
- §6.4 Jacobi 场
- §6.1 Euler-Lagrange 方程的推导
- 第七讲约束极值问题
- §7.1 等周问题
- §7.2 逐点约束
- §7.3 变分不等式
- §7.1 等周问题
- 第八讲守恒律与Noether 定理
- §8.1 单参数微分同胚与Noether 定理
- §8.2 能动张量与Noether 定理
- §8.3 内极小
- §8.4 应用
- §8.1 单参数微分同胚与Noether 定理
- 第九讲直接方法
- §9.1 Dirichlet 原理与极小化方法
- §9.2 弱收敛与_弱收敛
- §9.3 _弱列紧性
- §9.4 自反空间与Eberlein-Schmulyan 定理
- §9.1 Dirichlet 原理与极小化方法
- 第十讲Sobolev 空间
- §10.1 广义导数
- §10.2 空间Wm;p(Ω)
- §10.3 泛函表示
- §10.4 光滑化算子
- §10.5 Sobolev 空间的重要性质与嵌入定理
- §10.6 Euler-Lagrange 方程
- §10.1 广义导数
- 第十一讲弱下半连续性
- §11.1 凸集与凸函数
- §11.2 凸性与弱下半连续性
- §11.3 一个存在性定理
- §11.4 拟凸性
- §11.1 凸集与凸函数
- 第十二讲线性微分方程的边值问题与特征值问题
- §12.1 线性边值问题与正交投影
- §12.2 特征值问题
- §12.3 特征展开
- §12.4 特征值的极小极大刻画
- §12.1 线性边值问题与正交投影
- 第十三讲存在性与正则性
- §13.1 正则性(n = 1)
- §13.2 正则性续(n > 1)
- §13.3 几个变分问题的求解
- §13.4 变分学的局限
- §13.1 正则性(n = 1)
- 第十四讲对偶最小作用量原理与Ekeland 变分原理
- §14.1 凸函数的共轭函数
- §14.2 对偶最小作用量原理
- §14.3 Ekeland 变分原理
- §14.4 Fr′echet 导数与Palais-Smale 条件
- §14.5 Nehari 技巧
- §14.1 凸函数的共轭函数
- 第十五讲山路定理及其推广与应用
- §15.1 山路(Mountain Pass) 定理
- §15.2 应用
- §15.1 山路(Mountain Pass) 定理
- 第十六讲周期解､异宿轨与同宿轨
- §16.1 问题
- §16.2 周期解
- §16.3 异宿轨
- §16.4 同宿轨
- §16.1 问题
- 第十七讲测地线与极小曲面
- §17.1 测地线
- §17.2 极小曲面
- §17.1 测地线
- 第十八讲变分问题的数值方法
- §18.1 Ritz 方法
- §18.2 有限元
- §18.3 Cea 定理
- §18.4 最优化方法——共轭梯度法
- §18.1 Ritz 方法
- 第十九讲最优控制问题
- §19.1 问题的提法
- §19.2 Pontryagin 极大值原理
- §19.3 Bang-Bang 原理
- §19.1 问题的提法
- 第二十讲有界变差函数与图像恢复
- §20.1 一元有界变差函数的回顾
- §20.2 多元有界变差函数
- §20.3 松弛函数
- §20.4 图像恢复与Rudin-Osher-Fatemi 模型
- §20.1 一元有界变差函数的回顾
- 参考文献
- 索引
- 前辅文
