本书根据编者在复旦大学多年的教学实践编写而成。全书共分五章：第一章介绍数学物理方程及偏微分方程的基本概念、基本来源、研究对象以及二阶偏微分方程的基本分类；第二至四章依次介绍三类典型的数学物理方程(调和方程、热方程、波方程)的物理来源，定解问题的提法与适定性理论，以及相应的解的性质；第五章介绍偏微分方程的一些现代应用。本书适合作为高水平本科院校数学专业的高年级本科生、研究生数学物理方程(或偏微分方程)课程的教材或教学参考书。
- 前辅文
- 第一章 引言
- 第二章 调和方程
- 2.1 方程的物理背景和定解问题
- 2.1.1 静电场和定常位势流
- 2.1.2 调和方程和Poisson方程
- 2.1.3 边值问题
- 2.1.4 变分原理
- 2.2 调和函数的基本性质与应用
- 2.2.1 调和函数的基本性质
- 2.2.2 基本性质的应用
- 2.3 极值原理及其应用
- 2.4 Green函数法
- 2.4.1 基本解和Green函数
- 2.4.2 特殊区域上的Green函数
- 2.4.3 球上Poisson方程的解
- 2.4.4 奇点可去性和解析性
- 2.5 特征值问题
- 2.6 一般的椭圆型方程
- 第三章 热方程
- 3.1 方程的物理背景和定解问题
- 3.2 分离变量法和初边值问题解的存在性
- 3.3 Fourier变换和Cauchy问题解的存在性
- 3.3.1 Fourier变换及其性质
- 3.3.2 Cauchy问题解的存在性
- 3.4 极值原理及其应用
- 3.4.1 弱极值原理和初边值问题解的唯一性
- 3.4.2 梯度估计和古代解
- 3.4.3 Harnack不等式和强极值原理
- 3.4.4 Cauchy问题解的唯一性
- 3.4.5 热半群的基本性质和应用
- 3.5 能量方法和解的唯一性
- 3.5.1 能量方法和初边值问题解的唯一性
- 3.5.2 倒向唯一性
- 3.6 一般的抛物型方程
- 第四章 波方程
- 4.1 方程的物理背景和定解问题
- 4.1.1 弦振动方程和力的平衡方程
- 4.1.2 定解问题
- 4.2 波方程的Cauchy问题
- 4.2.1 一维波方程的d’Alembert公式
- 4.2.2 三维波方程的球平均法
- 4.2.3 二维波方程的降维法
- 4.3 波的传播和解关于时间的衰减性
- 4.3.1 依赖区域、影响区域和决定区域
- 4.3.2 有限传播速度和Huygens原理
- 4.3.3 特征曲面与弱间断解
- 4.3.4 解关于时间的衰减性
- 4.4 分离变量法和初边值问题解的存在性
- 4.5 能量方法和解的唯一性与稳定性
- 4.5.1 初边值问题解的唯一性和稳定性
- 4.5.2 Cauchy问题解的唯一性
- 4.6 一般的双曲型方程
- 第五章 偏微分方程的应用
- 5.1 电磁学与Maxwell方程组
- 5.2 最优传输问题与Monge-Ampère方程
- 5.3 最优控制问题与HJB方程
- 习题答案与提示
- 名词索引
- 参考文献
