本书是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，在第四版的基础上修订而成。这次再版主要修改了第四章§4中“完备曲面的比较定理”的证明，使读者进一步学习近代比较黎曼几何时，有较好的分析准备和直观的几何背景；补充了数学史料、拓展阅读类数字资源，以二维码或图标示意。
本书可供高等师范院校数学院系用作教材。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 曲线论
- §1 向量函数
- 1.1 向量函数的极限
- 1.2 向量函数的连续性
- 1.3 向量函数的微商
- 1.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式
- 1.5 向量函数的积分
- §2 曲线的概念
- 2.1 曲线的概念
- 2.2 光滑曲线 曲线的正则点
- 2.3 曲线的切线和法平面
- 2.4 曲线的弧长 自然参数
- §3 空间曲线
- 3.1 空间曲线的密切平面
- 3.2 空间曲线的基本三棱形
- 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式
- 3.4 空间曲线在一点邻近的结构
- 3.5 空间曲线论的基本定理
- 3.6 一般螺线
- 第二章 曲面论
- §1 曲面的概念
- 1.1 简单曲面及其参数表示
- 1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线
- 1.3 曲面上的曲线族和曲线网
- §2 曲面的第一基本形式
- 2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长
- 2.2 曲面上两方向的交角
- 2.3 正交曲线族和正交轨线
- 2.4 曲面域的面积
- 2.5 等距变换
- 2.6 保角变换
- §3 曲面的第二基本形式
- 3.1 曲面的第二基本形式
- 3.2 曲面上曲线的曲率
- 3.3 迪潘（Dupin）指标线
- 3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
- 3.5 曲面的主方向和曲率线
- 3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率
- 3.7 曲面在一点邻近的结构
- 3.8 高斯曲率的几何意义
- §4 直纹面和可展曲面
- §5 曲面论的基本定理
- 5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号
- 5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式
- 5.3 曲面论的基本定理
- §6 曲面上的测地线
- 6.1 曲面上曲线的测地曲率
- 6.2 曲面上的测地线
- 6.3 曲面上的半测地坐标网
- 6.4 曲面上测地线的短程性
- 6.5 高斯波涅（Gauss-Bonnet）公式
- 6.6 曲面上向量的平行移动
- *6.7 极小曲面
- §7 常高斯曲率的曲面
- 7.1 常高斯曲率的曲面
- 7.2 伪球面
- 7.3 罗氏几何
- 第三章 外微分形式和活动标架
- §1 外微分形式
- 1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数
- 1.2 外微分形式
- 1.3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理
- §2 活动标架
- 2.1 合同变换群
- 2.2 活动标架
- 2.3 活动标架法
- §3 用活动标架法研究曲面
- 3.1 曲面论的基本定理
- 3.2 曲面的第一和第二基本形式
- 3.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率
- 3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率
- 3.5 曲面上向量的平行移动
- 3.6 闭曲面的高斯波涅公式
- 第四章 整体微分几何初步
- §1 平面曲线的整体性质
- 1.1 旋转数
- 1.2 凸曲线
- 1.3 等周不等式
- 1.4 四顶点定理
- 1.5 等宽曲线
- 1.6 平面上的克罗夫顿（Crofton）公式
- §2 空间曲线的整体性质
- 2.1 芬切尔（Fenchel）定理
- 2.2 球面上的克罗夫顿公式
- 2.3 法里-米尔诺（Fáry-Milnor）定理
- 2.4 闭曲线的全挠率
- §3 曲面的整体性质
- 3.1 曲面的整体定义
- 3.2 曲面的一般性质
- 3.3 卵形面
- 3.4 完备曲面
- 3.5 负常高斯曲率的曲面
- §4 完备曲面的比较定理
- 4.1 完备曲面上的极坐标系
- 4.2 完备曲面的比较定理
- 4.3 完备曲面的余弦定律
- 名词索引
