这是一本专门讲述伽罗瓦理论的教材。内容包括伽罗瓦理论基本定理和多项式方程的根式可解性、伽罗瓦群的计算及共反问题。本书强调通过伽罗瓦对应，可将代数数域中的问题转化成群论的问题加以解决。作为这种思想的应用，证明了代数基本定理，解决了e和π的超越性及尺规作图的四大古代难题。为方便读者查阅，附录中详细梳理了所要用到的群、环、域方面的结论。每节配有充足的习题并包含提示。
本书可作为高等学校数学类各专业的教材，也可供其它相关专业参考。
- 前辅文
- 0 伽罗瓦理论概述
- 1 有限伽罗瓦扩张
- 1.1 伽罗瓦对应
- 1.2 阿廷引理
- 1.3 戴德金无关性引理
- 1.4 有限伽罗瓦扩张
- 习题
- 2 伽罗瓦理论基本定理
- 2.1 表述及意义
- 2.2 证明
- 2.3 注记与例子
- 2.4 代数基本定理
- 习题
- 3 伽罗瓦群的计算
- 3.1 伽罗瓦的原始思想
- 3.2 判别式
- 3.3 4 次方程
- 3.4 纯粹方程
- 3.5 分圆域
- 3.6 素数次对称群
- 3.7 布饶尔的构造
- 习题
- 4 一般方程的伽罗瓦群
- 5 方程根式可解的伽罗瓦大定理
- 5.1 历史背景及表述
- 5.2 充分性的证明
- 5.3 必要性的证明
- 5.4 3 次方程求根公式
- 5.5 4 次方程求根公式
- 习题
- 6 模P法
- 6.1 有理函数域
- 6.2 模P法
- 6.3 对称群
- 习题
- 7 e和π的超越性
- 7.1 林德曼--魏尔斯特拉斯定理
- 7.2 证明
- 7.3 公开问题
- 习题
- 8 尺规作图问题
- 8.1 几何定义与代数描述
- 8.2 三大古典难题
- 8.3 可构数的另一判定法
- 8.4 正n边形的尺规作图
- 习题
- 9 附录Ⅰ: 所需群和环中的结论
- 9.1 有限群中若干结论
- 9.2 有限阿贝尔群
- 9.3 可解群
- 9.4 对称多项式基本定理
- 9.5 唯一因子分解整环上的多项式环
- 9.6 中国剩余定理
- 10 附录II: 域论摘要
- 10.1 域扩张的基本概念
- 10.2 分裂域和同构延拓定理
- 10.3 有限域
- 10.4 可分扩张和正规扩张
- 10.5 单位根与分圆多项式
- 10.6 狄利克雷素数定理的特例
- 参考文献
- 中英文名词索引
