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大学数学(第2版)——流形上的微积分

“十五”国家规划教材

作者:
萧树铁
定价:
13.10元
ISBN:
978-7-04-013636-4
版面字数:
210.000千字
开本:
16开
全书页数:
174页
装帧形式:
平装
重点项目:
“十五”国家规划教材
出版时间:
2003-12-30
读者对象:
高等教育
一级分类:
数学与统计学类
二级分类:
理工类专业数学基础课
三级分类:
高等数学

  本书是普通高等教育“十五”国家级规划教材,是高等教育出版社2000年版“大学数学”系列教材的第二版。
  本书主要讲授定义在拓扑空间和微分流形上的连续函数、光滑函数和光滑影射,并介绍处理它们之间的关系的原理和方法。全书由4章组成:拓扑结构,光滑结构,外微分式及其积分,黎曼流形上的微分算子等。
  本书可作为高等学校理工科各专业的教材,也可供其他专业人员参考。
  • 第一章 拓扑结构
    • 1.1 n维欧氏空间
      • 1.1.1 n维欧氏向量空间
      • 1.1.2 n维欧氏空间上的距离函数
      • 1.1.3 n维欧氏空间中的球状邻域
      • 1.1.4 n维欧氏空间中点列的极限
      • 1.1.5 n维欧氏空间上的连续函数
      • 1.1.6 从n维欧氏空间到m维欧氏空间的连续映射
    • 1.2 拓扑空间
      • 1.2.1 拓扑
      • 1.2.2 拓扑基
      • 1.2.3 由拓扑直接派生的基本概念
      • 1.2.4 拓扑子空间
      • 1.2.5 连续映射
    • 1.3 常见的拓扑空间
      • 1.3.1 度量空间
      • 1.3.2 乘积空间
      • 1.3.3 商空间
    • 1.4 重要的拓扑性质
      • 1.4.1 分离性公理
      • 1.4.2 紧致性
      • 1.4.3 局部紧致性
      • 1.4.4* 连通性和道路连通性
      • 1.4.5* 局部连通性和局部道路连通性
    • 1.5 习题一
  • 第二章 光滑结构
    • 2.1 微分流形
      • 2.1.1 拓扑流形
      • 2.1.2 局部坐标的变换
      • 2.1.3 光滑微分结构
      • 2.1.4 光滑流形的例子
    • 2.2 光滑函数
      • 2.2.1 光滑函数的定义
      • 2.2.2 截断函数
      • 2.2.3 单位分解定理
      • 2.2.4 光滑映射
    • 2.3 切空间
      • 2.3.1 切向量
      • 2.3.2 切空间
      • 2.3.3 自然基底
      • 2.3.4 切向量的分量
      • 2.3.5 光滑映射的切映射
      • 2.3.6 切映射的坐标表示
    • 2.4 子流形
      • 2.4.1 浸入子流形
      • 2.4.2 R3中的正则曲线和正则曲面
      • 2.4.3 光滑函数的水平面
    • 2.5 光滑切向量场
      • 2.5.1 光滑切向量场
      • 2.5.2 作为微分算子的光滑切向量场
      • 2.5.3 Poisson括号积
      • 2.5.4 在光滑映射下相关的光滑切向量场
    • 2.6 习题二
  • 第三章 外微分式及其积分
    • 3.1 外形式
      • 3.1.1 对偶向量空间
      • 3.1.2 对偶基底
      • 3.1.3 线性函数的分量的坐标变换公式
      • 3.1.4 多重线性函数
      • 3.1.5 r次外形式
      • 3.1.6 反对称化算子
      • 3.1.7 外形式的外积
      • 3.1.8 外形式的坐标表达式
      • 3.1.9 外多项式
      • 3.1.10 向量空间的线性映射在外形式空间上的诱导映射
    • 3.2 外微分式
      • 3.2.1 余切向量和余切空间
      • 3.2.2 r次外微分式
      • 3.2.3 外微分
      • 3.2.4 外微分的运算规则
      • 3.2.5 外微分的求值公式
      • 3.2.6 拉回映射
    • 3.3 可定向光滑流形和带边区域
      • 3.3.1 向量空间的定向
      • 3.3.2 可定向光滑流形
      • 3.3.3 可定向性的判别准则
      • 3.3.4 带边区域
      • 3.3.5 有向光滑流形在带边区域的边界上的诱导定向
    • 3.4 外微分式的积分
      • 3.4.1 外微分式的支撑集包含在坐标域内的情形
      • 3.4.2 一般情形
      • 3.4.3 积分的性质
      • 3.4.4 在浸入子流形上的积分
    • 3.5 Stokes定理
      • 3.5.1 Stokes定理的叙述
      • 3.5.2 Stokes定理的证明
        • 3.5.2.1 情形U∩D=的证明
        • 3.5.2.2 情形U∩D≠的证明
    • 3.6 习题三
  • 第四章 黎曼流形上的微分算子
    • 4.1 黎曼流形
      • 4.1.1 欧氏向量空间
      • 4.1.2 黎曼流形的定义
      • 4.1.3 黎曼流形的例子
      • 4.1.4 R3中的正则曲面
    • 4.2 梯度算子
      • 4.2.1 欧氏向量空间与其对偶空间的自然同构
      • 4.2.2 欧氏向量空间V和V的自然同构在任意的基底下的表示
      • 4.2.3 黎曼流形上的梯度算子
    • 4.3 光滑切向量场的协变微分
      • 4.3.1 Rn上的光滑切向量场的微分
      • 4.3.2 黎曼流形上的光滑切向量场的协变微分
      • 4.3.3* 光滑切向量场的分量的协变导数及其坐标变换公式
    • 4.4 散度算子和Laplace算子
      • 4.4.1 光滑切向量场的散度
      • 4.4.2 散度的局部坐标表达式
      • 4.4.3 Laplace算子
      • 4.4.4 单位球面上的Laplace算子
    • 4.5 黎曼流形上的外微分学
      • 4.5.1 n维欧氏向量空间中的Hodge星算子
      • 4.5.2 Hodge星算子在非单位正交基底下的表达式
      • 4.5.3 Hodge星算子在外微分式上的作用
      • 4.5.4 R3中的场论公式
      • 4.5.5 有向黎曼流形上的Hodge星算子和余微分算子
    • 4.6 习题四
  • 参考文献
  • 索引

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